☛ Critère de divisibilité par sept

Propriété

On considère un nombre entier à trois chiffres. On le note \(cdu\) (\(c\) est le chiffre des centaines de ce nombre, \(d\) est son chiffre des dizaines et \(u\) est son chiffre des unités).
On s'intéresse à sa divisibilité par \(7\).
Si \(c\times 10+d-2\times u\) est divisible par \(7\), alors le nombre \(cdu\) est divisible par \(7\).

Énoncé

1. En utilisant la propriété ci-dessus, montrer que les nombres \(A=581\quad B=427\quad C=329\) et \(\quad D=651\) sont divisibles par \(7\).
2. Écrire chacun des nombres ci-dessus comme un produit de \(2\) termes dont l'un est \(7\).
3. Démontrer la propriété.

Solution

1. Pour \(A=581\) on a :
\(c=5\;;d=8\) et \(u=1\).
On a  \(5\times 10+8-2\times 1=56=7\times8\). D'après la propriété, \(581\) est divisible par \(7\).
On procède de manière analogue pour les autres nombres.

2. \(A=7 \times 83\quad B=7\times61\quad C=7\times47\) et \(D=7\times 93\)

3. Par hypothèse, le nombre \(c\times 10+d-2\times u\) est divisible par \(7\) on sait qu'il existe.
Ceci se traduit par : il existe \(k\in \mathbb{N}\) tel que \(10c+d-2u=7k\)
Donc :
\(cdu=100c+10d+u=10\times 10u+10\times d-10\times 2u+20u+u=10(10c+d-2u)+21u\\ \quad=10\times 7k+21u=7\times 10k+7\times 3u=7(10k+3u)\)Comme \(10k+3u\in \mathbb{N}\) alors \(cdu\) est le produit de \(7\) par un nombre entier donc \(cdu\) est bien divisible par \(7\).